(一)R 计算微积分

1.2.1求一元函数导数— \(\sin{x}\) 的一阶导数为： \(\cos{x}\)

在R里，声明表达式对象使用 expression() 函数, 计算一阶导数用D()函数,格式：D(表达式,对谁求导)

fun=expression(sin(x))# 声明表达式
D(fun,"x")#---方法1

## cos(x)

deriv(fun,"x")#---方法2  其中.grad[, "x"]为求x的导数表达式

## expression({
##     .value <- sin(x)
##     .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
##     .grad[, "x"] <- cos(x)
##     attr(.value, "gradient") <- .grad
##     .value
## })

deriv3(fun,"x")#---方法3 其中.grad[, "x"]为求x的导数表达式

## expression({
##     .expr1 <- sin(x)
##     .value <- .expr1
##     .grad <- array(0, c(length(.value), 1L), list(NULL, c("x")))
##     .hessian <- array(0, c(length(.value), 1L, 1L), list(NULL, 
##         c("x"), c("x")))
##     .grad[, "x"] <- cos(x)
##     .hessian[, "x", "x"] <- -.expr1
##     attr(.value, "gradient") <- .grad
##     attr(.value, "hessian") <- .hessian
##     .value
## })

1.2.2 计算n阶导数

1. 计算n阶导数—方法一: 结合一阶导数写递归函数

   函数： \(\sin{x}+\cos{2x}+x^2+xy+y^2+2x^3+y^3\) 的3阶导数为：\(12 + 8\sin{2x} -\cos{x}\)

   fun=expression(sin(x)+cos(2*x)+x^2+x*y+y^2+2*x^3+y^3)
   DD <- function(expr, name, order = 1) {
     if (order < 1)
       stop("'order' must be >= 1")
     if (order == 1){
       D(expr, name)
     }else{
       DD(D(expr, name), name, order - 1)
     }
   }
   DD(fun,"x",3)

## 2 * (3 * 2) - (cos(x) - sin(2 * x) * 2 * 2 * 2)

2. 计算n阶导数—方法二: Deriv 包中Simplify()化简表达式

   library(Deriv)
   DD(fun,"x",3)

## 2 * (3 * 2) - (cos(x) - sin(2 * x) * 2 * 2 * 2)

   Simplify(DD(fun, "x", 3))

## 12 + 8 * sin(2 * x) - cos(x)

1.2.3 通过函数计算导数

有时候我们有的就是函数，这怎么计算导数呢？—还是用上面的函数

f=function(x,y)sin(x)+cos(2*x)+x^2+x*y+y^2+2*x^3+y^3 #这里是函数，而不是表达式
body(f)

## sin(x) + cos(2 * x) + x^2 + x * y + y^2 + 2 * x^3 + y^3

Simplify(D(body(f), "x"))# 注意：函数体有花括号{}会出错

## cos(x) + x * (2 + 6 * x) + y - 2 * sin(2 * x)

1.2.4 求二元函数偏导数及梯度

D(expression(x^2+x*y+y^2),"x")# x偏导数

## 2 * x + y

D(expression(x^2+x*y+y^2),"y")# y偏导数

## x + 2 * y

1.2.5 符号计算扩展包 Ryacas

想要做更多的符号计算内容，如解方程，泰勒展开等，可以借助第三方 R 扩展包 Ryacas

解方程: \(\frac{x}{1+x}=a\) 求解\(x=\frac{a}{1-a}\)

library(Ryacas)
ysym("Solve(x/(1+x) == a, x)") 

## {x==a/(1-a)}

多项式展开：如\((1+x)^3\) 展开

ysym(expression(Expand((1 + x)^3)))# 把(1+x)^3展开

## y: x^3+3*x^2+3*x+1

求解常微分方程：\(y''=4y\)

ysym("OdeSolve(y''== 4 * y)")

## y: C105*Exp(2*x)+C109*Exp((-2)*x)

泰勒展开：\(\cos{x}=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+o(x^4)\)

ysym("Taylor(x, a, 3) cos(x)") # cos(x)函数在a点的3阶泰勒展开

## y: cos(a)+(Deriv(a)cos(a))*(x-a)+((x-a)^2*(Deriv(a)Deriv(a)cos(a)))/2+((x-a)^3*(Deriv(a)Deriv(a)Deriv(a)cos(a)))/6

1.3 表达式转为函数值

很多时候我们使用 R 目的是计算，符号计算后希望可以直接代入计算，那么只需要在 deriv 中指定 function.arg 参数为 TRUE。 \[ \sin{x}+\cos{2x}+x^2+xy+y^2对x求偏导为：\cos{x}-2sin{2x}+2x+y \]

fun=expression(sin(x)+cos(2*x)+x^2+x*y+y^2)
dx=D(fun,"x") #用D()函数得到符号运算结果，然后代入数值即可得到最后结果
dx

## cos(x) - sin(2 * x) * 2 + 2 * x + y

x=0;y=pi# 对x、y赋值
eval(dx)#求出数值解

## [1] 4.141593

Dfun=deriv(fun,c("x","y"),function.arg = TRUE)# 同时对x、y求偏导--D()函数不可以同时求偏导
Dfun(x=0,y=pi/2) # 代值计算，其中attr(,"gradient")的值为导数值 ，另一个为原函数在该处的函数值

## [1] 3.467401
## attr(,"gradient")
##             x        y
## [1,] 2.570796 3.141593

#我们可以作如下简单验证：
fun=function(x,y){sin(x)+cos(2*x)+x^2+x*y+y^2}
fun(x=0,y=pi/2)

## [1] 3.467401